ABSTRACTS
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Interactions with diagrams and the making of reasoned conjectures in geometry
(Patricio Herbst, Ann Arbor (USA))

Four potential modes of interaction with diagrams in geometry are introduced. These are used to discuss how interaction with diagrams has supported the customary work of �doing proofs� in American geometry classes and what interaction with diagrams might support the work of building reasoned conjectures. The extent to which the latter kind of interaction may induce tensions on the work of a teacher as she manages students� mathematical work is illustrated.

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Vier m�gliche Formen der Interaktion mit geometrischen Darstellungen werden aufgezeigt. Diese Formen werden thematisiert um deutlich zu machen, wie visuelle Darbietungen im amerikanischen Geometrieunterricht das allt�gliche Gesch�ft des Beweisens� unterst�tzen. Dadurch soll auch gezeigt werden, welche Art der Interaktion mit geometrischen Darstellungen es erlaubt, das Herstellen begr�ndeter Vermutungen zu unterst�tzen. Zugleich wird das Ausma� illustriert, mit welchem die letztere Art von Interaktion Spannungen innerhalb der unterrichtlichen Arbeit� der Lehrerin hervorruft, die sich darum bem�ht, die mathematischen Beitr�ge, d.h. die mathematische Arbeit� der Sch�lerinnen und Sch�ler zu organisieren.
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Adult learners' criteria for explanations
(David A Reid, Wolfville (Canada), Rosemary Roberts, Happy Valley � Goose Bay (Canada))

This article explores adult learners' preferences for explanations of mathematical statements in terms of kinds of reasoning and formats of presentation. Based on data from questionnaires and interviews it is concluded that familiarity and clarity influenced students' preferences more than the format or reasoning used. A contrast between the factors influencing students' choices and those of instructors is also reported. Implications for teaching and research are drawn from the study.

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In dem vorliegenden Artikel wird untersucht, welche Arten von Erkl�rungen mathematischer Aussagen erwachsene Lernende bevorzugen, und zwar in Hinsicht auf die Art logischen Denkens und die Form der Darstellung. Basierend auf empirischen Daten aus Frageb�gen und Interviews wird geschlossen, dass Lernende in ihren Pr�ferenzen mehr durch Vertrautheit und Klarheit der Argumente beeinflusst werden als durch die Form oder logische Schlussweise der Argumente. Auch werden Unterschiede dargestellt zwischen den Faktoren, die Lernende und Lehrpersonen in ihrer Wahl beeinflussen. Implikationen der Studie f�r Unterricht und Forschung werden aufgezeigt.
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Sch�lerprobleme beim L�sen von geometrischen Beweisaufgaben - eine Interviewstudie �
(Aiso Heinze, Augsburg (Germany))

In diesem Beitrag wird �ber eine Interviewstudie mit zehn Sch�lerinnen und Sch�lern der Jahrgangsstufe 8 berichtet, die als qualitative Erg�nzung zu einer quantitativen empirischen Untersuchung mit 659 Probanden durchgef�hrt wurde. Die Probanden, die in der 7. und 8. Klasse an schriftlichen Tests teilgenommen hatten, wurden beim L�sen geometrischer Beweisaufgaben videografiert und anschlie�end befragt. Es zeigt sich, dass Sch�lerschwierigkeiten bei diesen Aufgaben im Wesentlichen auf das Faktenwissen, das Methodenwissen zum mathematischen Beweisen und die Entwicklung und das Verfolgen einer Beweisstrategie zur�ckgef�hrt werden k�nnen. W�hrend schw�chere Sch�ler in allen drei Bereichen Defizite aufweisen, liegen die Schwierigkeiten der st�rkeren Probanden vor allem in der Entwicklung einer Beweisstrategie.

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In this article we report on an interview study involving ten grade 8 students. These interviews served as a qualitative supplement for a large-scale quantitative study on proof and argumentation (N=659). During videotaped interviews the students were asked to solve geometrical proof problems. The results indicate that students' difficulties with proof and logical argumentation may be explained by insufficient knowledge of facts, deficits in their methodological knowledge about mathematical proofs, and a lack of knowledge with respect to developing and implementing a proof strategy. Low-achieving students show difficulties with respect to all these three aspects, whereas high-achieving students' difficulties are mainly based on deficits of developing an adequate and correct proof strategy.
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Students� performance in reasoning and proof in Taiwan and Germany: Results, paradoxes and open questions
(Aiso Heinze, Augsburg (Germany), Ying-Hao Cheng, Taipei (Taiwan), Kai-Lin Yang, Taipei (Taiwan))

In different international studies on mathematical achievement East Asian students outperformed the students from Western countries. A deeper analysis shows that this is not restricted to routine tasks but also affects students� performance for complex mathematical problem solving and proof tasks. This fact seems to be surprising since the mathematics instruction in most of the East Asian countries is described as examination driven and based on memorising rules and facts. In contrast, the mathematics classroom in western countries aims at a meaningful and individualised learning. In this article we discuss this "paradox" in detail for Taiwan and Germany as two typical countries from East Asia and Western Europe.

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Internationale Vergleichsstudien haben gezeigt, dass Sch�lerinnen und Sch�ler ostasiatischer L�nder bessere Ergebnisse im Fach Mathematik erzielen als Lernende aus westlichen L�ndern. Dies betrifft dabei nicht nur Routineaufgaben, sondern auch komplexe Probleml�se- und Beweisaufgaben. Die Ergebnisse scheinen zu �berraschen, da der Mathematikunterricht in ostasiatischen L�ndern oft als pr�fungsorientiert und auf Auswendiglernen ausgerichtet beschrieben wird. Im Gegensatz gibt es in westlichen L�ndern das Ziel, ein verst�ndnisvolles und individualisiertes Lernen zu erm�glichen. In diesem Beitrag diskutieren wir dieses "Paradox" f�r die L�nder Taiwan und Deutschland als zwei typische Beispiele aus Ostasien und Westeuropa.
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From the principle of bijection to the isomorphism of structures: An nalysis of some teaching paradigms in discrete mathematics
(Christine Ebert, Delaware (USA), Gary Ebert, Delaware (USA), Mikhail Klin, Beer Sheva (Israel))

This paper is concerned with the teaching of Discrete Mathematics to university undergraduate students. Two to three decades ago this course became a requirement for math and computer science students in most universities world wide. Today this course is taken by students in many other disciplines as well. The paper begins with a discussion of a few topics that we feel should be included in the syllabus for any course in Discrete Mathematics, independent of the audience. We then discuss several potential models for teaching the course, depending upon the interests and mathematical background of the audience. We also investigate various educational links with other components of the curriculum, consider pedagogical issues associated with the teaching of discrete mathematics, and discuss some logistical and psychological difficulties that must be overcome. A special emphasis is placed on the role of textbooks.

Dieser Artikel besch�ftigt sich mit dem Lehren diskreter Mathematik an einer Universit�t. Vor zwanzig bis dreissig Jahren wurde solch ein Kurs Pflicht f�r Mathematik- und Informatikstudenten. Heutzutage wird er auch von Studenten anderer Fachrichtungen belegt. Dieser Artikel beginnt mit der Diskussion einiger Punkte, die unserer Meinung nach im Lehrstoff eines jeden Kurses in diskreter Mathematik enthalten sein sollten, unabh�ngig von der Zuh�rerschaft. Anschliessend diskutieren wir verschiedene Modelle diesen Kurs zu unterrichten. Diese h�ngen vom Interesse und dem mathematischen Ausbildungsstand der Zuh�rer ab. Wir untersuchen ebenfalls verschiedene Verbindungen mit anderen Komponenten des Lehrplans. Dazu geh�ren sowohl p�dagogische Sachverhalte in Verbindung mit diskreter Mathematik, als auch logistische und psychische Schwierigkeiten, die �berwunden werden m�ssen. Spezielle Betonung wurde auf die Rolle des Lehrbuchs gelegt.
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