## ZDM

### International Reviews on Mathematical  Education

Articles • Electronic-Only Publication • ISSN 1615-679X

ABSTRACTS
(Full texts are available to subscribers only)

Teaching Spline Approximation Techniques using Maple

Mihály Klincsik, Pécs (Hungary)

Using Computer Algebra Systems (CAS) - such as MAPLE- in teaching and learning mathematical concepts is a great challenge both from a didactical and a scientific point of view. We have to rewrite our traditional paper based teaching materials for interactive and living electronic worksheets. Only few statements and principles have to be acquired by the learner and the teacher from the CAS and then they can visualise, make animations, modify quickly the program data, perform symbolic and numeric calculations step by step and in the whole, and verify deductions on their own. The author prepared Maple worksheets for teaching different types of function approximating techniques, such as interpolation-, least square-, spline and uniform approximation methods for post-graduate mechanical engineering students. In this paper we want to demonstrate how we can keep and improve the famous problem solving principles and rules given by G. Pólya and R. Descartes (Pólya 1962), when we use the capabilities of CAS. The education principles: active learning, motivations and the successive phases are getting new meaning with CAS. Our examples are always concerning to the spline functions. Handling the formulas, calculating values and giving proofs are always in the form of Maple statements.

***

Benutzung von CAS im Lehr- und Lernprozess ist eine große didaktische und wissenschaftliche Herausforderung. Alle unsere didaktischen Prinzipien sollen im Hinblick auf den Gebrauch von CAS neu durchgedacht werden. Auf der anderen Seite, braucht man nur einige der CAS Hilfsmittel zu erlernen, um ein CAS als ein leistungsfähiges Werkzeug zur Unterstützung der Modellbildung, zur Visualisierung und zur numerischen und symbolischen Rechnung einsetzen zu können. Der Verfasser stellte Maple Arbeitsblätter für den Unterricht der verschiedenen Verfahren der Approximationstheorie zusammen. Diese Lehrmateriale werden in dem Fernunterricht verwendet. Es wird versucht zu demonstrieren, wie erfolgreich Maple CAS eingesetzt werden kann, um die didaktischen Prinzipien von G. Polya und R. Descartes im Unterricht zu verwirklichen. Als Beispiel wählen wir immer Anwendungen der Splinetheorie. Wir benutzen immer Maple zur Lösung raumgeometrischer Probleme. Der Vorteil des Zusammenwirkens von zwei verschiedenen Anschauungsmitteln, einem traditionellen und einem computerunterstützten, wird dargestellt. Dazu wurden für dieses Problem sowohl spezielle interaktive Computer-Arbeitsblätter als auch traditionelle Modelle entwickelt. Die interaktiven Arbeitsblätter wurden mit Hilfe eines DGS erstellt und ermöglichen auch dreidimensionale Animationen. Auf traditionellen Arbeitsblättern wird das Problem dargestellt, und es werden Hinweise zum Umgang mit dem Computer und den anderen Arbeitsmitteln gegeben. Dadurch wird das Zusammenspiel dieser beiden Arbeitsmittel gewährleistet. Natürlich können die Schüler auf diesem Arbeitsblatt auch ihr Vorgehen protokollieren.
Full text (PDF)

CAS-supported multiple representations in elementary linear algebra.
The case of the Gaussian algorithm

Wolfgang Lindner, Duisburg (Germany)

Usually the Gaussian algorithm (GA) is presented at school as a method of solving a given system of linear equations by reducing it to a "triangular form". In contrast to this technically oriented view, I will demonstrate a CAS-supported learning environment which includes a visual representation of GA and an activity-oriented "Gauss-game". This game stresses the concept of elementary matrices and leads directly to a partial implementation of GA in the form of a "semi-automatic" functional CAS-program. These multiple representation of GA tries to take into consideration the research results on mental representations, to design rich variations of student activities and thereby to lead leading to webbeb concepts around GA. The CAS MuPAD is used.

***

Üblicherweise wird der Gauß-Algorithmus (GA) in der Schule als eine Methode präsentiert, ein gegebenes lineares Gleichungssystem durch Reduktion auf Dreiecksgestalt zu lösen. Im Gegensatz zu dieser technisch orientierten Sicht wird hier ein CAS-gestütztes Lernarrangement skizziert, welches eine visuelle Repräsentation des GA und ein handlungsorientiertes "Gauss-Spiel" einschließt. Dieses Spiel basiert auf dem Konzept der Elementarmatrizen und führt unmittelbar zu einer partiellen Implementation des GA in Form eines "semi-automatischen" funktionalen CAS-Programms. Die multiplen Repräsentationen des GA versuchen Forschungsbefunde über mentale Repräsentationen aufzugreifen, um reichhaltige Aktivitäten der Lernenden zu ermöglichen und dadurch Vernetzungen im Umkreis des GA anzubahnen. Benutzt wird das CAS MuPAD.
Full text (PDF)

Application of CAS for teaching of integral-transforming theorems

Ildikó Hámori Perjési, Pécs (Hungary)

Teaching vector calculus (the integral-transforming theorems, in particular) to students of engineering has got many difficulties. On the one hand complex and deep knowledge of vector algebra (in three dimensions) and calculus (in one and many variables) is necessary for understanding, on the other hand it is difficult to illustrate the concepts of vector calculus exclusively by means of blackboard and chalk. In this paper we demonstrate how the line integral, the surface integral, the theorems of Gauss and Stokes are thought with the help of a MAPLE computer algebra system (CAS). Application of this pedagogical method supports the hypothesis that using of CAS makes it possible to teach those kinds of concepts and theorems which are often used in engineering practice but couldn’t be presented because of lack of time and appropriate preliminary training.

***

Der Unterricht der Vektoranalysis (und vorwiegend der Sätze, die sich um die Integraltransformationen handeln) für Ingenieurstudenten verursacht viel Mühe. Einerseits braucht es ein komplexes und gründliches Wissen in Vektoralgebra (in drei Dimensionen) und in Analysis (in ein und zwei Variablen), andererseits ist es schwierig, die Begriffe der Vektoralgebra mit Kreide an der Tafel zu veranschaulichen. Es wird in diesem Artikel demonstriert, wie wir das Linienintegral, das Oberflächenintegral und die Gauss’schen und Stokes’schen Integralsätze mit der Hilfe des CAS Programms MAPLE lehren. Die Anwendung dieser pädagogischen Methode unterstützt die Hypothese, dass solche - in Praxis oft benutzte aber vorher wegen Zeitmangel und mangelhafter Vorbildung nicht vorkommende - Begriffe und Sätze mit der Hilfe CAS gelehrt werden können.
Full text (PDF)

Didactic approach for teaching nondeterminism in automata theory

György Maróti, Szeged (Hungary)

Nondeterminism plays a central role in almost all fields of computer science. It has been incorporated naturally as well as in the theory of automata as a generalization of determinism. Although nondeterministic finite automata do not have more recognition power than deterministic ones their importance and usefulness is of no doubt.

Unfortunately, the operation of the mathematical model of nondeterministic automata is difficult to understand which means a didactic challenge for every teacher and lecturer. This paper gives a didactic approach to introduce the notion of finite (deterministic and) nondeterministic automata.

As a teaching tool we make use of the automata theory package developed in Maple. We put emphasis on the process character of learning and work out a method that promotes repetitive experiments.

***

Der Nicht-Determinismus spielt in fast allen Bereichen der Informatik eine bedeutende Rolle. Dieser Begriff wird auch in der Automatentheorie verwendet als Generalisierung des Determinismus. Obwohl nichtdeterministische endliche Automaten nicht über mehr Erkennungskapazität verfügen als deterministische, steht ihre Wichtigkeit und Nützlichkeit ausser Frage.

Leider ist die Funktion des mathematishen Modells von nichtdeterministischen Automaten nicht leicht zu verstehen, deshalb ist es eine Herausforderung für jeden Lehrer. Dieser Artikel soll eine didaktische Betrachtung des Begriffs von endlichen deterministischen und nichtdeterministischen Automaten geben.

Wir benutzen als Unterrichtshilfe das in Maple entwickelte Programmpaket für Automatentheorie. Wir betonen den kontinuierlichen Charakter des Lernens und entwickeln eine Methode, die das wiederholte Experimentieren unterstützt.
Full text (PDF)

Network based math teaching using CAS

Csaba Sárvári, Pécs (Hungary)

In the teaching of mathematics the CAS based knowledge-bank, placed on local network could be the link between the personal cognitive microcosmoses and the world of hypermedia. Modularization is one of the biggest didactical problems in connection with the use of CAS in math teaching. Mainly the curricula and the role in enlarging of knowing representation net motivate working with module-types. There are some characteristic features of the CAS supported algorithm building we would like to discuss. The model-building has new and greater chances: decreasing the demand of the calculations and using compressed cognitive units, the CAS modules.

***

Im Mathematikunterricht kann der netzbasierte Gebrauch von CAS eine verbindende Kette zwischen dem persönlichen Mikrokosmos und der Medienwelt sein.

Modularisierung ist ein wichtiges und effizientes Strukturierungs- und Organisationsprinzip des - mit Einsatz von CAS verwirklichten – Mathematikunterrichts. Der Prozess der Modularisierung mit CAS ist ein dynamisches Verfahren, dessen Ablauf grundlegend von Zielen des Curriculums bestimmt werden soll.
Full text (PDF)

CAS Based Approach for Discussing Subset Construction

György Maróti, Szeged (Hungary)

This paper continues the discussion of teaching nondeterminism (see this issue of ZDM) where we presented a didactic approach for the introduction of the notion of nondeterministic automata. Although in this paper we use the same methodology we have to face up to new didactic challenges. Namely, teaching the subset construction requires answers to the question how can be CAS used in teaching the different phases of mathematical problem solving so that we can reach higher cognitive efficiency.

***

Dieser Artikel setzt die Behandlung der Nichtdeterminiertheit (vergleiche Beitrag in dieser ZDM-Ausgabe) fort, wo ein didaktischer Zugang zur Einführung nichtdeterministischer Automaten präsentiert wurde. Obwohl die gleiche Methodologie eingesetzt wird, treffen wir auf neue didaktische Herausforderungen. Die Vermittlung der Teilmengen-Konstruktion erfordert nämlich eine Antwort auf die Frage, wie ein CAS eingesetzt werden kann, um die verschiedenen Phasen im mathematischen Problemlösungsprozess so zu gestalten, dass eine höhere kognitive Effizienz erreicht wird.
Full text (PDF)