## La filtration de Krull de la categorie U et la cohomologie des espaces

### Lionel Schwartz

Abstract. This paper proves a particular case of a conjecture of N. Kuhn. This conjecture is as follows. Consider the Gabriel-Krull filtration of the category U of unstable modules.
Let U_n, n>=0, be the n-th step of this filtration. The category U is the smallest thick sub-category that contains all sub-categories U_n and is stable under colimit [L. Schwartz, Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics Series (1994)]. The category U_0 is the one of locally finite modules, i.e. the modules that are direct limit of finite modules. The conjecture is as follows, let X be a space then :
* either H^*X is locally finite,
* or H^*X does not belong to U_n, for all n.
As an example the cohomology of a finite space, or of the loop space of a finite space are always locally finite. On the other side the cohomology of the classifying space of a finite group whose order is divisible by 2 does belong to any sub-category U_n. One proves this conjecture, modulo the additional hypothesis that all quotients of the nilpotent filtration are finitely generated. This condition is used when applying N. Kuhn's reduction of the problem. It is necessary to do it to be allowed to apply Lannes' theorem on the cohomology of mapping spaces.[N. Kuhn, On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann. of Math. 141 (1995) 321-347].

Resumé. Cet article démontre une variante d'une conjecture due a N. Kuhn. Cette conjecture s'exprime à l'aide de la filtration de Krull de la categorie U des modules instables.
Notons U_n, n>=0, le n-ième terme de cette filtration. La categorie U est la plus petite sous-catégorie épaisse contenant les catégories U_n et stable par colimite [L. Schwartz, Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan's fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics Series (1994)]. La categorie U_0 est celle des modules localement finis, c'est-à-dire limite directe de modules finis. On entend par sous catégorie épaisse une sous-catégorie stable par sous-objet et quotient, et telle que pour toute suite exacte courte, si le premier et le troisième terme sont dans la sous-catégorie, alors le terme central l'est aussi. La conjecture s'énonce comme suit, soit X un espace, alors:
* soit H^*X dans U_0,
* soit H^*X pas dans U_n, pour tout n.
Par exemple la cohomologie d'un espace de dimension finie, ou celle de son espace des lacets sont toujours dans U_0. Alors que la cohomologie du classifiant d'un groupe fini, d'ordre divisible par 2 n'est, elle, dans aucune des sous-catégories U_n. On démontre cette conjecture, modulo l'hypothèse supplémentaire que tous les quotients de la filtration nilpotente ont un nombre fini de générateurs. Cette condition implique en particulier que la cohomologie est de dimension finie en chaque degré. Mais elle est plus forte, et assure les conditions d'application du théorème de Lannes sur la cohomologie des espaces fonctionnels. Ce théorème est nécessaire pour appliquer la réduction de Kuhn [N. Kuhn, On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann. of Math. 141 (1995) 321-347]. Par commodité on ne consid&egrave;rera dans cet article que le cas p=2.

Keywords. Steenrod operations, nilpotent modules, Eilenberg-Moore spectral sequence

AMS subject classification. Primary: 55S10. Secondary: 57S35.

E-print: arXiv:math.GT/0110230

Submitted: 9 October 2000. (Revised: 4 July 2001.) Accepted: 30 September 2001. Published: 5 Octoberber 2001.

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Lionel Schwartz
Universite Paris-Nord, Institut Galilee, LAGA, UMR 7539 du CNRS
Av. J.-B. Clement, 93430, Villetaneuse, France
Email: schwartz@math.univ-paris13.fr